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ArCsinx麦克劳林展开

反正弦函数arcsinx的泰勒公式 arcsinx=x+1/2*x^3/3+1/2*3/4*x^5/5+1/2*3/4*5/6*x^7/7+ (-1

先求出arcsin(x)在x=0的泰勒展开,为x+(1/6)*x^3+(3/40)*x^5+(5/112)*x^7+O(x^9),通项为(2n-1)!!/(2n)!!*x^(2n+1).第n+1项系数为:A_(n+1)=(2n-1)!!/(2n)!!/(2n+1).这个结果在很多版本的微积分、数学分析、高等数学课本上都能够找到 然后平方,只有偶次项,根据多项式乘法法则不难算出,通项为C_(n+1)=∑A_(k)*A_(2n+2-k)*x^(2n+2) (k=1, 2, , n+1),其中,前面几项为x^2+(1/3)*x^4+(8/45)*x^6+(4/35)*x^8+(128/1575)*x^10+O(x^12),

y=arcsinxx = siny求导得1=cosy * y'所以y'(0)=1再求导得0=cosy * y'' - siny y' =>cos^2y y'' - siny = 0所以y''(0) = 0继续求导下去就可以得到y(n)(0)的值,就可以得到泰勒展开式了

arctanx = x - x^3/3 +x^5/5 - x^7/7 +.(arcsinx)' =(1-x^2)^(-1/2)=1+1/2x^2+(-1/2)(-3/2)/2*x^4+,arcsinx=x+1/6x^3+3/20 x^5+.

arctanx=x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+1/9*x^9++(-1)^(n+1)/(2n-1)*x^(2n-1) 使用条件: 麦克劳林公式无论什么条件下都能使用,关键是展开的项数不能少于最低要求.x的趋向是要求的极限决定的,与展开式无关. 注意是参与加减运算的两部分的

求导得根号(1/(1-x^2))=(1-x^2)^(-1/2)=1+1/2x^2+(-1/2)(-3/2)/2*x^4+,就是利用(1+x)^a的Taylor展式,把x换成-x^2即可.有了上面的Taylor展式,则arcsinx就是上面的Taylor展式从0到x的定积分

arctanx = x - x^3/3 +x^5/5 - x^7/7 +.(arcsinx)' =(1-x^2)^(-1/2)=1+1/2x^2+(-1/2)(-3/2)/2*x^4+,arcsinx=x+1/6x^3+3/20 x^5+.

设f(x)=arcsinx f (0)=0(arcsinx)'=1/√1-x^2 f'(0)=1(arcsinx)''=x(1-x^2)^(-3/2) f''(0)=0(arcsinx)'''=(1-x^2)^(-3/2)+3x^2(1-x^2)^(-5/2) f'''(0)=1f(x)=arcsinx在x=0点展开的三阶泰勒公式为:arcsinx=f(0)+f'(0)x+(1/2)f''(0)x^2+(1/6)f'''(0)x^3+o(x^4) 代入以上数值:=x+(1/6)x^3+o(x^4)以上答案仅供参考,

可尝试用罗比达法则 lim(x→0)[(arcsin2x-2arcsinx)/x] (0/0) = lim(x→0){2/√[1-(2x)]-2/√(1-x))/(3x)} = (2/3)lim(x→0){1/√{[1-(2x)](1-x)}*lim(x→0)[√(1-x)-√[1-(2x)]/x] = (2/3)*1*lim(x→0)[√(1-x)-√[1-(2x)]/x] (0/0) = ……

有.只要按照马克劳林公式的一般形式f(x)= 连加(n从0到无穷) x^n*f^(n)(0)/n!展开(其中f^(n)(0)表示f的n阶导数在0点的值),只不过最后的每项的形式没什么规律(这也取决于f^(n)(0)的值).

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